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基于MATLAB的求解线性方程组（附完整代码和例题）

发布: 2023年2月14日 10:17:50

目录

前言

一. 直接求解：矩阵除法

例题1

 例题2

例题3

二. 直接求解：判断求解

2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n

2.2 rank(A)=rank(C)=r

例题5

2.3 

三. 矩阵求逆解线性方程组

例题 6

前言

线性方程组的直接解法方法很多，包括Gauss消去法、选主元消去法、平方根法和追赶法等等。但是在MATLAB中，可以直接利用“”或者“/”来解决问题。这两种方法的内部包含非常多的自适应算法，比如对超定方程使用最小二乘法；对欠定方程给出误差范数最小的一个解；对三对角阵方程组使用追赶法。

一. 直接求解：矩阵除法

对线性方程A*X=B求解，MATLAB调用格式如下：

x=AB

调用此函数时，矩阵A、B必须具有相同的行数。如果矩阵A没有正确缩放或者接近奇异矩阵，运行代码时，MATLAB就会显示警告信息。

对矩阵A可以分成如下三种情况：

  • 如果A是标量，那么AB就等同于A.B
  • 如果A是ntimes n方阵，B是n行矩阵，那么AB就是方程A*X=B的解
  • 如果A是mtimes n矩阵，而且mneq n，B是m行矩阵，那么AB返回方程组A*X=B的最小二乘解

例题1

解如下方程：

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;
    0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];
b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];
x=Ab;
x' %将结果输出为行向量

 运行结果：
ans =

   0.332683779325239  -1.412140862756104   1.602847655449206  -0.500293786006566

 例题2

A为4阶的幻方矩阵，求解线性方程组Ax=b。b的表达式如下：

b=begin{bmatrix}34\34\34\34 end{}

备注：幻方矩阵的定义：如果一个数组具有相同行列且每行，每列和对角线上的和都一样，则成这些数组则成为魔方矩阵，又叫幻方矩阵。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=magic(4); %生成四阶的幻方矩阵
b=[34;34;34;34];
x=Ab;
x'

运行结果：

ans =

   0.980392156862745   0.941176470588235   1.058823529411765   1.019607843137255
分析：

4阶的幻方矩阵是奇异矩阵，奇异矩阵也能求解，但是MATLAB会生成警告，警告信息如下：

警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确。RCOND =  4.625929e-18。 

例题3

对线性方程组Ax=b进行求解，并分析是否有误差。A，b矩阵如下：

A=begin{bmatrix}1&2&0\0&4&3 end{}，b=begin{bmatrix}8\18 end{}

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[1 2 0;0 4 3];
b=[8;18];
x=Ab

E=norm(b-A*x) %求范数误差

运行结果：

x =

                   0
   3.999999999999997
   0.666666666666670


E =

     7.160723346098895e-15

分析：此方程属于欠定方程，MATLAB采用最小二乘法进行求解，所以会出现误差

另外最后举一个利用稀疏矩阵对简单线性方程组Ax=B进行求解。

MATLAB代码：

clc;clear;
A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩阵
B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩阵
x=AB

E1=norm(B-A*x) %范数误差

运行结果：

x =

   (1,1)      1.000000000000000
   (2,1)      2.000000000000000
   (3,1)      3.000000000000000
   (4,1)      4.000000000000001
   (5,1)      5.000000000000001

E1 =

     4.189529226675416e-15

二. 直接求解：判断求解

给定矩阵A,B如下：

形成解的判定矩阵C如下：

C=begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}&b_{11}&b_{12}&cdots&b_{1p}\ a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}&b_{21}&b_{22}&cdots&b_{2p}\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ a_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn}&b_{m1}&b_{m2}&cdots&b_{mp} end{}

线性方程组有解的判断定理将分成三种情况：


2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n

此时，方程组有唯一的解 x=A^{-1}B

例题4

求解如下方程组：

begin{bmatrix}1&2&3&4\ 4&3&2&1\ 1&3&2&4\ 4&1&3&2 end{}X=begin{bmatrix}5&1\4&2\3&3\2&4 end{}

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];
B=[5 1;4 2;3 3;2 4];
C=[A B];

%判定前提条件
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)

%求解
x1=inv(A)*B

%计算范数误差
E1=norm(A*x1-B)

%计算精确解
x2=inv(sym(A))*B

%计算范数误差
E2=norm(A*x2-B)

运行结果：

rank_A =4
rank_C = 4


x1 =

  -1.800000000000000   2.399999999999999
   1.866666666666666  -1.266666666666667
   3.866666666666667  -3.266666666666667
  -2.133333333333333   2.733333333333333


E1 =7.291088482824584e-15

 
x2 =
[   -9/5,   12/5]
[  28/15, -19/15]
[  58/15, -49/15]
[ -32/15,  41/15]
 
E2 =0

2.2 rank(A)=rank(C)=r<n

此时方程组有无穷多个解。将原方程组可以转化为对应的齐次方程组的解，形式如下：

hat x=alpha_1x_1+alpha_2x_2+ldots+alpha_{n-r}x_{n-r},quad alpha_i,i=1,2,cdots,n-r

此时需要求取A矩阵的化零矩阵，MATLAB格式如下：

Z=null(A)

 或者求取A矩阵的化零矩阵的规范形式，MATLAB格式如下：

Z=null(A,'r')

例题5

求解以下方程组:


begin{bmatrix}1&2&3&4\ 2&2&1&1\ 2&4&6&8\ 4&4&2&2 end{}X=begin{bmatrix}1\3\2\6 end{}

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B=[1;3;2;6];
C=[A B];

%判断可解性
rank=[rank(A),rank(C)]

%求解出规范化的化零空间
Z=null(sym(A))

%求特解
x0=sym(pinv(A)*B)

%验证得出的解
a1=randn(1);
a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的随机数
x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;
E=norm(double(A*x1-B))

%将通解表示出来
syms a3 a4;
x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0

运行结果：

rank = 2     2

 分析：说明有解，且解不止一个


Z =
[    2,    3]
[ -5/2, -7/2]
[    1,    0]
[    0,    1]
 分析：此结果可以解释为，如下等式：

begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4 end{}=begin{bmatrix}2&3\-2.5&-3.5\1&0\0&1 end{}begin{bmatrix}x_3\x_4 end{}
 
x0 =
 125/131
  96/131
 -10/131
 -39/131
 

E =0

 分析：此方法求出的结果没有误差


x2 =
 
        2*a3 + 3*a4 + 125/131
 96/131 - (7*a4)/2 - (5*a3)/2
                  a3 - 10/131
                  a4 - 39/131

分析：此结果可以写成通式如下：

begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4 end{}=a_3begin{bmatrix}2\-2.5\1\0 end{}+a_4begin{bmatrix}3\-3.5\0\1 end{}+begin{bmatrix}0.9542\0.7328\-0.0763\-0.2977 end{}

2.3 rank(A)leq rank(C)

此时只能采用摩尔-彭罗斯（Moore-Penrose）广义逆求解出其最小二乘法，MATLAB格式如下：

x=pinv(A)*B

这种方法只能使误差范数测度||Ax-B||取的最小值，并不能完全符合原始的代数方程。

三. 矩阵求逆解线性方程组

通过反转系数矩阵A，也可以实现对线性方程组Ax=b的求解。不幸的是，与之前反斜杠计算的方法相比，此方法的运算速度会更慢，残差也相对较大。但其实，它也有它的优点，我们来看一道例题。

例题 6

利用八阶的幻方矩阵，来比较MATLAB中x1=Ab和x2=pinv(A)*b两种求解方法的精确度。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=magic(8);
A1=A(:,1:6); %行数全取，列数保留1~6列，具体原因见"分析"
rank_A1=rank(A1)
b=260*ones(8,1); %260是原A矩阵的幻数和

%使用反斜杠法求解
x1=A1b
norm_x1=norm(x1)
E1=norm(A1*x1-b)

%使用pinv()函数求解
x2=pinv(A1)*b
norm_x2=norm(x2)
E2=norm(A1*x2-b)

运行结果：

rank_A1 =3

警告: 秩亏，秩 = 3，tol =  1.882938e-13。 
（由于A1矩阵非方阵，所以运算秩时矩阵出现警告，与矩阵秩相关的介绍可以看以下文章）

基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式_唠嗑！的博客-CSDN博客

x1 =

   2.999999999999998
   4.000000000000000
                   0
                   0
   1.000000000000002
                   0


norm_x1 = 5.099019513592784
E1 = 1.392373714442771e-13


x2 =

   1.153846153846151
   1.461538461538463
   1.384615384615385
   1.384615384615383
   1.461538461538461
   1.153846153846153


norm_x2 =3.281650616569467
E2 =4.019436694230464e-13

分析：

（1）将A矩阵转换为A1，因为当只有六列时，方程仍然是一致的，依旧存在解，而且解并非全由1组成。另外，由于矩阵低秩，所以会有无数个解。

（2）根据范数误差计算的结果，两种求解方法精度一致

（3）解x1的特殊之处在于它只有三个非零元素；解x2的特殊之处在于它的norm(x2)非常小

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