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🔥前言
今天给大家分享算法中的一个重要思想——动态规划。题目源自牛客网的 《剑指offer》 专栏,我将通过两个经理题目来给大家讲清楚动态规划思想,让大家面对这一类题目时有自己的解题思路。
文章目录
- 一、连续子数组的最大和
- 1、题目要求
- 2、个人题解
- 2.1、解题思路
- 2.2、代码实现
- 2.3、代码解析
- 二、连续子数组的最大和(二)
- 1、题目要求
- 2、个人题解
- 2.1、解题思路
- 2.2、代码实现
- 2.3、代码解析
- 三、动态规划知识学习
一、连续子数组的最大和
1、题目要求
2、个人题解
2.1、解题思路
首先我们要弄清楚题目的含义:什么是连续子数组?
- 子数组就是小数组里的元素,原数组里必须含义;加上连续,理解起来就是:该数组是原数组里的一串连续的元素或者单个元素。
搞清楚连续子数组后考虑该题的解法:
- 既然单个元素也属于连续子数组这个范畴,那么从第二个元素开始,我们对该元素和他与前一个元素的和比较,将二者中的较大值存到辅助数组
dp
中。 - 定义一个
max
作为最终的结果,并和数组dp中的元素不断对比,较大值将被赋值给max。 - 继续遍历,更新继续往dp数组中放入较大值,同时max也不断更新
- 遍历结束,max的值就是连续子数组的最大和
图示助理解:
2.2、代码实现
class Solution {
public:
int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
if(array.size()==1)
return *array.begin();
int dp[array.size()];
int max=array[0];
dp[0]=max;
for(int i=1;i<array.size();i++){
int temp=dp[i-1]+array[i];
dp[i] = temp>array[i]? temp:array[i];
if(dp[i]>max)
max=dp[i];
}
return max;
}
};
2.3、代码解析
- 根据题目可知,数组长度是不小于1的,因此在长度为1的时候,直接返回即可
- 根据数组长度设置辅助数组
dp
的长度,初始化dp首元素和max的值为数组首元素的值 - 从第二个元素开始,将子数组和的最大值存入dp数组并更新max的值
- 遍历结束后,返回
max
,程序结束,问题解决。
二、连续子数组的最大和(二)
1、题目要求
2、个人题解
2.1、解题思路
该题是在连续子数组的和最大的基础上,返回该连续子数组,这里仍然使用动态规划来解题:
我们仍然要通过辅助数组dp
来记录连续子数组的最大值,并根据最大值来更新连续子数组的区间,最后将最长区间作为数组下标,将区间范围的元素全部插入到要返回的数组中。
具体做法:
- 创建动态规划辅助数组,记录到下标i为止的最大连续子数组和,下标为0的时候,肯定等于原数组下标为0的元素。
- 准备左右区间双指针记录每次连续子数组的首尾,再准备两个双指针记录最大和且区间最长的连续子数组的首尾。
- 遍历数组,对于每个元素用上述状态转移公式记录其dp值,更新区间首尾(如果需要)。
- 出现一个最大值。且区间长度更大的时候,更新记录最长区间的双指针。
- 根据记录的最长子数组的位置取数组。
2.2、代码实现
class Solution {
public:
/**
* 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可
*
*
* @param array int整型vector
* @return int整型vector
*/
vector<int> FindGreatestSumOfSubArray(vector<int>& array) {
// write code here
if(array.size()==1)
return array;
vector<int>res;
vector<int> dp(array.size(),0);
dp[0]=array[0];
int ans=dp[0];
//滑动区间
int left=0,right=0;
//最终的区间范围
int resl=0,resr=0;
for(int i=1;i<array.size();i++){
right++;
//状态转移:连续子数组的最大值
dp[i]=max(dp[i-1]+array[i], array[i]);
//区间新起点
if(dp[i-1]+array[i]<array[i])
left=right;
//更新最大值
if(dp[i]>= ans)
{
ans=dp[i];
resl=left;
resr=right;
}
}
//给res数组插入数据
for(int i=resl;i<=resr;i++)
res.push_back(array[i]);
return res;
}
};
2.3、代码解析
- 根据题目可知,数组长度是不小于1的,因此在长度为1的时候,直接返回即可
- 根据数组长度初始化辅助动态数组
dp
,最大值记为ans
且默认为数组首元素的值 - 声明遍历的区间以及最终的区间并初始化为0
- 进入for循环,右区间right递增,将最大连续子数组的和存到dp数组中。
- 如果是相加结果没有自身对应的元素值大,那么right将作为新区间的起点,即:
left=right
- 每次新存入dp数组的元素组和最大值
ans
比较:- 如果dp内的数据大,那么就更新最大值并让最终的区间等于遍历的区间
- 如果dp内的数据小,不进行操作,最终区间范围不变
- 如果是相加结果没有自身对应的元素值大,那么right将作为新区间的起点,即:
- 随着遍历的进行,最终区间不断变化,遍历结束时,最终区间也就确定了下来
- 最后根据区间将数组中的数据插入到
ans
数组中并返回
三、动态规划知识学习
动态规划算法的基本思想是:
- 将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解;
- 对于重复出现的子问题,只在第一次遇到的时候对它进行求解,并把答案保存起来,让以后再次遇到时直接引用答案,不必重新求解。
- 动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。