难道，走曲折的路线真的比走直线能更快到达目的地？是的，如果在不同路段的行进速度不一样，就可能出现这样的情况。想一想，那些住在两个火车站之间，但住处与其中一个站比较近的农村居民是怎么做的，您就明白了：为了更快到达远处的火车站，这些人总是先骑马走相反的防线赶到火车站，然后在那里转乘火车站到达目的地。对他们来说，如果直接骑马赶到目的地，走的路当然是要短一些，但是他们还是宁愿选择更长的路线----骑马再坐火车----因为这样就可以更快到达目的地。

现在我们花几分钟的时间来看一看另外一个例子。骑兵需要把情报从A点送到指挥部所在的C点（图110）。两点之间隔着一片沙地和一篇草地，沙地和草地的分界线是一条直线EF。马在沙地上的奔跑速度只有草地上速度的一半。骑兵需要选择一条什么样的行进路线，才能用最短的时间达到指挥部？

图110 关于骑兵的问题：求从A到C的最快路径

乍看之下，最快的路径是从A点引向C点的直线。但这是完全错误的，而且我也不认为会有选择这条路径的骑兵。骑兵知道沙地上走得慢，这会是他产生正确的想法，那就是缩短这段走得慢的路程，走一个不太斜的线路穿过沙地，当然了，在这种情况下，另外一段路----在草地上的路----就变长了；但由于在草地上的行进速度要快上两倍，所以多走一些草地路也没关系，最终还是可以在较短的时间内走完全程。换句话说，骑兵所走的路线应该在两种不同土壤的交界处发生偏转，而且在草地中行进路线与垂直线的夹角，要大于在沙地中行进路线与垂直线的夹角。

了解几何学中毕达哥拉斯定理（勾股定理）的人可以验证，支线路径AC的确不是最快路径，按照图中给出的各项数据，如果沿折线AEC（图111）行进，可以在更短的时间内到达目的地。

图111 关于骑兵的问题的答案：最快的路径为AMC

如图110所示，沙地的宽度为2千米，草地的宽度为3千米，BC之间的距离为7千米。那么根据毕达哥拉斯定理，AC的总长度（图111）等于（5²+7²）的平方根=8.60千米。其中，线段AN----沙地上部分线路的长度----等于总长度的2/5，也就是3.44千米。由于在沙地上的行进速度只有在草地上的一半，则在3.44千米沙地上的行进时间，相当于在6.88千米草地上的行进时间，由此可以得出，全部8.60千米的直线混合路线AC，对应着12.04千米的草地上的行进路程。

现在我们按照这种方式，把折线AEC换算成“草地路程”。其中，AE=2千米，对应着4千米草地路程，而EC=（3²+7²）的平方根=7.61千米。最后得出的折线AEC的草地路程为4+7.61=11.61千米。

但是现在我们还没有求出最快的路径。理论告诉我们，最快的路径具有以下特征，即角b的正弦与角a的正弦的比值，等于草地上行进速度与沙地上行进速度的比值，也就是说等于2:1。换句话说，应该选择这样的行进方向，是sinb等于2倍sina。为此，需要在距离E点1千米的m点穿越草地和沙地的分界线。这时候，sinb=6[3+(6)的平方根]，而sina=1/[(1+2)的平方根]，比值sinb/sina=（6/(45)的平方根)/(1/(5)的平方根)=(6/(3x(5)的平方根)]/[1/(5)的平方根]=2，也就是说，正好的等于两个速度的比值。

图112 什么叫做正弦？m与半径的比值就是角1的正弦，n与半径的比值是角2的正弦

那么，这种情况对应的 “草地路程” 又是多少呢？我们来计算一下：AM=（2²+1²）的平方根，相当于4.47千米的草地路程，而MC=45的平方根=6.71千米，整个草地路程的长度为4.47+6.71=11.18千米。我们知道，直线路径对应着12.04千米的草地路程，所以说，最快路径要比直线路径短860米的草地路程。

现在您看到了吧，在当前的命题条件下，按折线行进会带来多大的好处，光线也恰恰是选择了这条最快的路径，因为光的折射定律是严格遵循这个问题的数学求解要求的：折射角正弦与入射角正弦的比值，等于光在新介质中传播速度与光在原来介质中传播速度的比值；从另一方面来说，这个比值正好等于光在两种介质之间的折射率。

把光的反射定律与折射定律结合在一起，我们可以得出结论：在所有情况下，光都是沿最快路径传播，也就是说，光的传播遵循物理学上称为“最快到达原理”（费马定理）。

如果介质不是均匀的，而且其折射性能是逐渐变化的，比如在大气层中，在这种情况下，光的传播同样是遵循最快到达的原理。这就可以解释，为什么天体发出的光线在大气层中会产生轻微的折射，这种现象在天文学中被称为 “大气折射”。在大气层中，空气的密度是向下逐渐增大的，所以光的传播路线是弯向地面的。这样，光线在传播速度较快的高层空间中传播的时间就会久一点，而在传播速度“较慢”的底层空间停留的时间就比较短，最终，光线就可以比按直线路径传播更快地到达目的地。

最快到达原理（费马定理）不仅仅适用于光的传播，声音的传播，以及任何性质的波状运动，都遵循这个原理。

毫无疑问，读者一定想知道，为什么波动会具有这样的特征。在这里，我们引用现代著名物理学家薛定谔的一段话（摘自1933年斯特哥尔摩诺贝尔奖领奖典礼上的报告）来解释这种现象。他从前面谈到的士兵行军的例子出发，讲解光线在密度逐渐变化的介质中传播的情况。

“假设，” 伟大的物理学家这样写道，“为了保持严格的横列队形，士兵们被一根长长的杆子连在一起，每个人都紧紧握住这根长杆。长官发出命令：全速跑步前进！假如地面的状况是逐渐变化的，比如说，先是队伍的右翼跑得比较快，后来又是左翼跑得快一些，这样整个横列自然就会拐弯。我们可以看到，行进的路线不是直线，而是曲线。至于为什么说在已知的地面状况下，这样的行进路线时到达目的地用时最少的路线，这是很明显的，因为每一个士兵都是全速向前奔跑的。”

----摘自《趣味物理学》