第一章 函数 极限 连续

函数

取整函数

复合函数y=fg(x)
条件是g的值域∩f的定义域≠空集

反函数存在的充要条件：y有且仅有一个对应的x，如y=x²就没有反函数
函数fx ：x映射到y
反函数f^-1x ： 从y映射到x

求y=shx的反函数，解法：将e^x视作整体，分子分母同乘e^x

• 初等函数

arctanx

arcsinx

arccosx

• 奇偶性
  
  
  奇 + 奇 = 奇
  偶 + 偶 = 偶
  奇 * 奇 = 偶
  奇 * 偶= 奇

• 周期性
  
  sinⁿ(x)，n为偶数周期为派，n为奇数周期为2派
  如：sin²x周期为派，∫0到派 sin²x dx，区间可以换成0到派/2
  sin³x、sin⁵x周期都为2派
  f(x)周期为T，f(ax+b)周期为T/|a|

• 有界性
  
  注意无界函数的定义的有界函数的补集，所以一个函数不是有界函数就是无界函数
  注意这里有界是有上下界的，-M<=f(x)<=M
  

极限

数列极限

xn看作一个是值，落在x轴上的值，同时也是数列中的一个值

数列极限存在，部分列极限也存在
注意：所有部分列能还原成原数列，且所有部分列极限存在且相等才能反推原数列极限

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∞在函数和数列中定义是不一样的，数列中无穷默认为+无穷

在函数中：
x -> ∞，要判断两个极限，一个是x趋向+∞，一个是x趋向-∞，左右有别

左右有别的常见考题，x->0，在x=0处出考点

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极限性质

有界性

反之不成立，如sin(1/x)，在x->0处极限不存在

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保号性，注意等号，

lim^x->x0 f(x)=A存在，则有：
若A大于0，则在去心邻域中fx>0
若在去心邻域fx>0，则A大于等于0，（如fx=x²，在x=0处，去心邻域fx>0，但是A=0）

极限与无穷小关系

夹逼准则

夹逼准则常用在求极限，
那么如何判断这个极限能用夹逼来做？

取整函数

n的阶乘远大于2ⁿ，所以等0

这题提一个3出去

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单调有界准则

要用这个定理先要证明有界

无穷小比较
高阶、低阶、同阶、等价，k阶无穷小

无穷小性质

注意有限个

无穷大量

洛必达常用，直接看最高阶的项即可

无穷大量性质

两个无穷大量之和可能为0， n + (-n) = 0

数列的无界变量

数列无穷大量举例

无界变量举例

注意 无穷小可能=0，就不能做分母，
如：fx=0,limx->0 f(x) = 0, 1/fx不存在

求极限

常用的基本极限

只用判断最高次项

注意lim a(x)=0，lim b(x)=∞的条件，不是任何条件都可以乱用的！
结论的推导还是用的幂指函数求极限的方法，保守点就用幂指函数求极限

4个讨论点

3个讨论点

例题：

这里用的是

常见等价无穷小 要背 mark

代换原则

相减代换等价无穷小，要求a和b不等价即可，如：sinx - x 不能代换，2sinx - x ~ x可以代换
相加可以看作a - (-b)的形式，这两条是等价的，sinx + (-x) 就不能代换


补充：1-cos^ax ~ (a/2)x²

注意：等价无穷小做初等公式变换，如(x-sinx)^1/2，(1-cosx)³，这些把原来的等价无穷小看作因子，相乘就是幂次形式，所以不要被吓到

这里的等价无穷小可以推泰勒展开，如 1-cosx ~ 1/2x^2就可以推 cosx的泰勒展开，ln(1+x)，(1+x)^a的泰勒也可以推了，在稍微记一下通项就基本记住了

有理运算法则

有两个极限存在就能推第三个极限一定存在，注意下面可以拆分的条件是极限A和极限B存在

注意：

有三种组合
【存在 ±*/ 存在 】，这个一定存在
【不存在 ±*/ 不存在】，都不一定
【存在 ±*/ 不存在】，只有存在±不存在=不存在

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lim ∞ * x = 常数 可推 lim x一定为0

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洛必达，注意洛必达是否可以用，得先求才能知晓（结果是存在或者∞才能用）

七种类型的极限都可以用洛必达法则

∞-∞可以通分用洛必达，也可以直接用泰勒展开

0±0和∞±∞常用泰勒展开,展开原则，展开到x的最高阶

注意化简

如果含有极限非0因子，先求出来，以化简

注意使用等价无穷小只能在乘法因子中使用

如果f(x)一阶可导，没有说连续，那么不能用洛必达法则！
如果f(x)二阶可导，没有说连续，只能洛到一阶。
这种题型使用导数定义做：

常见泰勒公式

tanx用tanx - x ~ 1/3x^3推，1±x的泰勒可用ln(1+x)的泰勒求导得到，arcsinx和arccosx只是sinx和cosx变下号，
补充 (1+x)^a = 1+ax + a(a-1)x² / 2! + …

皮亚诺泰勒公式

特别地，在x=0时

0±0/0
∞-∞/∞
分子就可以用泰勒，一桶刨沙
注意！！！ 分子不能用等价无穷小，因为不是乘除法的因子，这里是±
（等价无穷小使用条件是，等价无穷小代换后相减或者相加后不等于0）

夹逼原理求极限

这题其实将3提出来做更简单

重要结论：

单调有界求极限

题型：数列推导求极限题
先要用单调有界准则证明极限存在（首先说明单调增并且有上界=>极限存在），然后才能设limXn=limXn+1=a求极限

单调有界准则 常用不等式证明有界，
这里用的2ab小于等于a² +b²

补充均值不等式：算数平均和几何平均比较常见

函数的连续性

左右极限等于函数值：lim f-x = lim f+x = fx

区间连续

间断点

第一类间断点

第二类间断点

间断点题型：找有几个间断点，讨论间断点

如何找间断点？找不存在的值处

这个fx函数可以拆成3个因子，每个因子分别找无定义的点处，x=0,x=1处，直接求极限，但是出现e^x,arctanx,分段函数,|f(x)±a| 时得分左右极限来求

那这个fx可以拆成4个因子，依次判断无定义的点即可，核心还是求极限

讨论间断点题型：

这一题做了一点变化，这里首先是得求出fx，而求出fx又要x分类讨论
这里考点是4个讨论区间

在讨论x=1处和x=-1处，判断是否间断？判断是跳跃间断还是可去间断？

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考点2：关于连续性运算和性质，连续函数的性质的证明题

首先是连续函数的最值定理，存在最大最小值
其次用到了介值定理的推论，f(ξ)应该想到：m<=f(ξ)<=M，所以把证明改写，将p+q移过去，单独把f(ξ)表达出来。

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介值定理

第二章 导数与微分

导数的概念

求导，其实就是特殊的极限，因此一阶导可以看作是fx的特殊极限（Δx->0），二阶导可以看作是一阶导的特殊极限。

两种写法，这两种写法分母都是分子的自变量相减

题型：判断导数存在性

这类题有三种方法：
1）左右有别，分别用定义去计算导数，最普遍的方法


2）等号这边的函数，可以用其导函数来求导
如：

那么f’+则需要用到定义去求

3）导数存在的必要条件：此点连续。如果此点不连续那么导数不存在

什么叫连续？连续是指函数在此处极限存在且与函数值相等
什么叫可导？直观来讲，可导就是在这点的上的切线有一定的方向；可导可以看作是fx空心邻域与此处fx值的关系，有空心邻域fx必要条件就是此处连续

从直观上看，
若不连续，导致这点上的导数的切线缺失了方向（变化率不存在，或者说是切线变化不光滑），导数不存在。
更何况连续都不一定可导，譬如fx=|x|

微分的概念

导数是函数某点的变化率，微分是函数的改变量

通俗的说微分是函数上的一小段（用kx拟合）在y轴的映射

dy是Δy的线性主部(近似的主要部分)，将Δy的高阶无穷小忽略了

dy=f’x · Δx （1988年考过这个定义，判断dy和Δx同阶，dy/Δx=f’x）

考的定义，dy除以Δx=f’x

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可微的（充分）必要条件是可导，就是可微和可导等价，

很少考可微性的判定，因为可微判断可导即可（一元中可微和可导等价），不会用定义去做，而可导需要用到定义去判断。

出题习惯：
一元考导数，多元考微分

导数与微分的几何意义

切线方程

法线方程

微分是函数上的一小段（用kx拟合，简单讲就是切线代替曲线，dy是切线拟合，Δy就是原本的曲线）在y轴的映射

连续可导可微之间的关系

一元中：

可导和可微等价

可导必连续

连续不一定可导（y=|x|,x=0处)

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证明：可导 => 连续

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可导 => 连续的正确理解，可导和一阶导连续、一阶导极限是否存在无关

反例：


所以，在fx二阶可导的时候，洛必达不能乱用，fx二阶可导且连续才能求到二阶，（注意：二阶可导说明f’x连续；而fx可导是一阶可导，说明的是fx连续）

=>二阶可导，lim f’’(x)不一定存在，更不一定连续，洛必达只能用到一阶，后面请使用导数定义

=> n阶可导，n-1阶导函数连续

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证明：可导 => 可微

导数公式及求导法则（背

sec = 1/cos
csc = 1/sin
cot = 1/tan = cosx / sinx

链式求导法


例7做结论：fx为偶函数，f^(2n-1)x为奇函数(f’x, f’³x, f⁵x… )

隐函数求导

反函数的导数


y=arcsinx
x=siny

y’ = 1/x’ = 1/cosy

参数方程求导

对数求导法

但是这个幂指数改写成e^xln(1+sinx)会好做一些

这题就很适合用对数求导，因为对数可以把乘法化成加法

高阶导数

n阶导数存在 => n-1阶导数存在

常用高阶导数

1)式拓展

相关变化率

这题我们已知x对时间的变化率，求另外一个变量l对时间变化率，这种题型叫相关变化率

x和l是两个相关的量，

首先建立起这两个相关量的关系

题目要求我们l对t求导

使用公式求解：dl/dt = dl/dx * dx/dt

第三章 微分中值定理及导数应用

考题：求极限、极值最值、凹向拐点、渐近线、方程的根、不等式证明、微分中值定理证明

微分中值定理

定理略 P39

什么时候用微分中值定理

题目告诉我们导数的条件，让我们研究函数
或者给的是函数条件，研究导数

泰勒公式
本质是建立fx和高阶导数之间关系
用多项式逼近一般函数fx

导数应用

函数的单调性
函数的极值
极值的必要条件，导数=0
导数=0的点称为驻点，驻点包含极值点(错)，极值点（y=|x|）不一定是驻点
如果fx可导的条件下，才极值点=>驻点，驻点包含极值点
因此：极值点 => {f’x=0或者f’x不存在}

极值的第一充分条件

细节，可以用在导数=0处，也可以用在导数不存在的点处只要fx连续

极值的第二充分条件

连续函数在区间的最值
最值要么在内部的极值处，要么在端点处（极值是一个领域，所以极值不能在端点取到，但这里是最值）

解题：

凹凸性


拐点
拐点是曲线上的点，用(x0,y0)表示

渐近线
水平，x趋向±∞，arctanx

垂直，如tanx，分母等于0的点就是可疑的点

斜，±∞的一侧出现斜渐近线
首先求 lim fx/x = a， 再求 lim fx - ax = b

作图
1/定义域
2/一阶导数
3/二阶导数
4/渐近线

曲率

常见考题

求函数极值

f’x=0或者f’x不存在
左右两侧异号
函数连续+保号性

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求拐点：
y’‘x=0
y’'左右两侧异号，图像上看一边是凹一边是凸

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渐近线

水平：看x趋向∞，fx=常数

垂直：fx=∞

斜渐线：
x->∞，
y/x = a， y-ax=b
fx能够写成ax+b+a(x)的形式

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方程的根
1）零点定理，区间连续，fx异号 = > 至少存在一个根

2）构造辅助函数使用罗尔定理，F’x = fx，区间连续，端点相等 => 存在fξ=0

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不等式证明
1）单调性，构造函数，求F’x
2）拉格朗日中值定理，使用 a < ξ < b
3）最大最小值

常见结论：
x/1+x < ln(1+x) 0

sinx < x < tanx，x∈(0,🥧/2)

2012年考题：

首先考了函数性质：偶函数
构造函数Fx即可

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中值定理证明题
1）拉格朗日中值定理

2）构造辅助函数（一般是直接把右边移动到左边），罗尔定理

考了介值定理和拉格朗日中值定理

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第四章 不定积分

2+3+3：
2个概念 原函数和不定积分
3种解题方法
3类积分

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原函数和不定积分

原函数 Fx+C
不定积分 ∫fxdx=Fx+C

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存在原理

但不连续也可能存在原函数

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不定积分的性质
d∫与∫d：∫ 1 dg(x) = g(x) + C， d∫g(x) = g(x)
∫ (fx±gx) dx可拆成两部分
∫ k·fx dx常数可先提

不定积分基本公式 （背

secx = 1/cosx
cscx = 1/sinx
cotx = cosx/sinx

tan²x = sec²x - 1
sec²x = tan²x + 1

cot²x = csc²x - 1
csc²x = cot²x + 1

第一换元积分法 凑微分 （背

第二换元积分法 换元法 （背

还有直接令的形式，t = 根号下1+e²

分部积分法

比较适用于两类不同函数相乘

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1. 多项式 与 e^ax/ sin ax/ cosax，将e和三角函数部分放进dx
   
2. 多项式和lnx / arctanx / arcsinx，把多项式放进dx
   
3. e 与 sinx / cosx
   
   把e放进dx，但是不能一步做出来

三类常见可积函数积分

有理函数积分

分母分解因式，分子分母同乘凑微分

三角有理式积分

同乘cosx，凑微分

同除以cos²x，凑微分

简单无理函数积分

例题

第一换元积分法 凑微分，根号下1-x凑微分

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题型：分段函数的原函数应保证在分界点连续
选择题的话，先判断原函数Fx分界点的连续性，再判定F’x=fx

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第二换元积分法 换元法

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三角函数+指数函数，使用分部积分法，因为分部积分法比较适用于两类不同函数相乘，这里把ex放进dx去

像ex，sinx，cosx好积分的，先凑微分，放进dx
lnx / arctanx / arcsinx这些不好积分的，把多项式放进dx

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两类不同函数相乘，使用分布积分，这里先凑1/根号x的微分

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这里考点是简单无理函数积分和有理函数积分，直接令根号下多项式 = t

有理函数积分使用拆项的方法做，拆项的具体方法是看出分母是由那两个多项式因子组成的，将分子用这两个多项式因子进行加减运算表示

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考点是分部积分和原函数定义和不定积分的性质

常用公式：
∫g(fx) · f‘xdx = ∫g(fx) · 1dfx

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考点是换元积分法，综合了不定积分的性质

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第五章 定积分与反常积分

定积分的定义

具体定义略，大致说一下是定积分是非均匀分布的闭区间上的求和极限，定积分是一个常数

其中闭区间分成n份，ξi是[xi-1,xi]上的一点，记λ=max{Δxi…}

λ->0可以推出n->无穷，但是n->无穷推不出λ->0

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用积分定义做题:

例题：

提出一个1/n，写成lim 1/n[∑f(ξi)]的形式，再写成∫^b->a fxdx的形式，其中ξi∈闭区间[a,b]

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定积分存在的充分条件

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定积分的几何意义

计算面积

最常见的半圆公式计算定积分的时候

计算偏心圆的定积分

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定积分的性质

3）是|a+b| <= |a| + |b|

这个不常用

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积分上限的函数 （变上限积分

有点类似于概率论里的分布函数 ∫ fx dx = Fx

本质上是一个函数！

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变上限积分定理1

变上限积分定理2

fx为奇函数，它的变上限积分为偶函数

反之，fx为偶，∫^0->xfxdx为奇函数

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定积分的计算公式

这个最常用啦

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换元法

令t=g(x)
x = g^-1(t)，换dx
t=g(x)，换积分上下限

如：
令t=lnx，那么x=e^t，dx = de^t
t=lnx，将上下限ab带入lnx，求得新的积分上下限

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分部积分

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奇偶性

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周期性

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点火公式

记忆:先写 n-1/n，往后倒推：
写到了2/3就结束
如果写到了1/2，就多乘一个派/2

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常用结论

例题

定积分概念例题

考点：定积分定义求极限

提一个1/n出去
写成这个形式

∫上下限a,b 满足 ξi∈[a,b]

下面3题是一个考点

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考点：定积分的几何意义

S3注意一下是梯形面积，
f’'x>0表示是函数图像是凹的

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考点：定积分的性质，不等式

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考点：定积分的几何意义，
变上限积分定理2：fx为奇函数，它的变上限积分为偶函数，反之，fx为偶，∫^0->xfxdx为奇函数

这里fx是奇函数，所以Fx是偶函数

上下限a->b，应该满足b>=a的，才有定积分的几何意义，不满足条件需要对调ab，并且添加负号

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考点：定积分的几何意义，

这里可以用特殊值法

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考点：罗尔定理（F’x = fx，区间连续，端点相等 => 存在fξ=0），
定积分的性质中值定理

中值定理

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定积分计算例题

考点：定积分计算之奇偶性

+号拆分成左右两个部分，奇函数部分先化成0，偶函数部分化成2倍

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考点:定积分计算之奇偶性，定积分的几何意义

定积分的几何意义，中提到的偏圆公式

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考点：定积分常用结论，点火公式，定积分计算之奇偶性

定积分常用结论：

奇偶性，sin²x在[0,Π]上关于Π/2对称

点火公式背一下

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考点：第二换元积分法，换元法

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考点：换元法，简单无理函数积分

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考点：分部积分法，

这里很明显把x放进dx

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考点：分部积分法

这里fx是求不出来的，因此只能用分部积分把求fx转换成求f‘x的问题

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变上限定积分例题

3种类型，1，23，4
1）这种可以直接求
2）x在变上限定积分里是常数，把x提出去，在对x求导
3）换元，令x-t=u，注意变上下限
4）也是换元，令x+t=u，注意变上下限

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考点：变上限积分定理1（就是求导公式）

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考点：都是变上限积分求导

这里用的换元法，

但是最快的方法是特殊值法，直接令fx=1

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考点：Fx原函数性质（连续，F’x=fx）

因为F‘x=fx在分界点处很难求F’x，
但是通过判断Fx连续性（连续必可导），不连续的直接排除，就可以选出答案了

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常用结论：fx不连续，存在跳跃间断点，原函数Fx连续，在间断点处但不可导

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考点：定积分的定义

分段函数求原函数，容易做错，类比一下离散型随机变量求分布函数就好，
稍微注意就行

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考点：极限计算，洛必达，变上限积分求导

常用结论：
f(x) >0或者f(x) 定积分上下限a=b=0

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考点：洛必达，变上限积分求导（或者用定积分性质：中值定理）

之所以可以用定积分性质中值定理，是因为这里被积分式子有fx和gx，可以把fx或者gx提出来变为fξ或者gξ，而ξ->0

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考点：微分，隐函数求导，变上限积分求导

隐函数求导注意对x求导时，y是x的函数，y => y’，x·y => y + y’x

反常积分

无穷区间上的反常积分

定义1：（半）无穷区间上[a，正无穷）的反常积分，类似的还有(负无穷，b]无穷区间上的反常积分

这两种无穷区间：一半无穷，一半有界，求它反常积分的散敛性就是直接求定积分，直接带无穷结果是常数则为收敛，若是无穷则为发散

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定义2：无穷区间上的散敛性，

这种无穷区间，两端都是无穷，则要拆分成左右两个半无穷区间，两个都收敛，这个无穷区间反常积分才收敛

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无界函数的反常积分

无界函数即不是有界函数的函数，如y=1/x

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如果函数fx在点a任一领域内都无界，称点a为瑕点，
1/x，在点0处

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设函数fx在(a,b]上连续，点a为瑕点，下面极限存在，称此极限为fx在闭区间[a,b]上的反常积分
反之fx在[a,b)上连续，b为瑕点，类比下面极限存在，称此极限为fx在闭区间[a,b]上的反常积分

这种反常积分的散敛性情况，直接计算此极限，若为常数则收敛，若不存在则为发散

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函数fx[a,b]上除点c外都连续，c为瑕点，索要计算[a,b]区间上的散敛性，将区间ab拆分成，ac，bc

ac和bc又回到上面所述的反常积分情况，区间ac和bc都收敛，那么ab区间收敛，
只要有一个发散，那么ab发散

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反常积分常用结论1 （p积分

反常积分常用结论2

例题

考点：反常定积分的计算

A可以用p积分结论来做，BCD直接计算定积分，若结果为常数则收敛，其实本质上还是考定积分的计算

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考点：分段函数的无穷区间上的反常定积分计算

这里的fx是一个分段函数，而要计算分段函数的反常积分，需要拆分成两个部分，1到e和e到正无穷，要求这两个部分都收敛

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考点：e^x极限计算(左右有别)，定积分计算

注意，
第一个0和第二个0代表的正负性是不一样的

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考点：同敛性的比较判别法，双瑕端点的散敛性判断

这题要注意，0点是个无界点！所以这个区间ab要拆分成ac和cb，c为了计算方便取1.

同敛性的比较判别法：
现在有∫ab fx dx， ∫ab gx dx，
不失一般性的设a是瑕点，
若有lim x->a (fx/gx) ≠ 0（为非零常数），
那么∫ fx dx，∫ gx dx是同敛性的

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计算题，本质还是考定积分的计算。
定积分的计算为非就是3个方法，凑微分，换元和分部积分

这里很明显是两类不同函数相成，用分部积分来做

这题是凑微分，我们一般都会先把e^-x消掉

根号一次式，我们直接把令成t，或者另外种方法就是凑根号这个的微分

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第六章 定积分的应用

这一章其实很简单，记住4个公式即可
分别是：
平面图形面积公式，
旋转体体积公式，
曲线弧长公式，
旋转体则面积公式

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平面图形面积

公式 ∫∫^D 1 dσ

图形∈D
1表示高为1，底面积×1 = 体积 = 底面积
dσ是微小块面积，一般为dxdy

常用公式：

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旋转体体积

V = ∫∫^D 2 × 派 × r(x,y) dσ

图形D围绕直线L：ax+by=c旋转，求体积V

r(x,y)是点xy到直线L的距离 = |ax+by-c|/根号下a方+b方

2派r(x,y)dσ，dσ是图形上一小块，2派r(x,y)则是圆周长，那么圆周长×面积视为圆环体积

这个圆环体积就是体积微分dv

V = ∫∫^D dv

记住公式V = ∫∫^D 2 × 派 × r(x,y) dσ 即可

但是用的多还是这两个公式：

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弧长公式

记住3个，都很类似

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旋转体侧面积

绕x轴旋转公式

2派 · fx 是圆周长，圆周长×弧长，视作长条侧面积微分

同理fx可以改成r(x,y)

例题

这部分的例题平面面积计算、旋转体积计算和弧长计算，这部分就直接略了，都是直接套公式的题目，把图形画出来就基本没问题了。

这里我觉得主要难题是在物理应用上，做这种题的主要思想是找微元，像在二维平面建立xy轴，一般就是y做微分，切成许多的横条薄片，这一横条薄片做微元在y上积分

W=F·s，
抽水主要思想是把水沿着y方向，横向划分成n份不同水块，底面积为S，高为dy，抽水就是把这n份水块从底部移动到顶
口，每个水块移动的距离不一样，最后在y上积分即可

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这题是考的 压力=压强×面积

水主要思想是把水沿着y方向，横向划分成n份不同水块，单独考虑这一小水块的压力即可

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第七章 微分方程

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微分方程基本概念

含有位置函数的导数或者微分的方程称为微分方程

微分方程的解是满足方程的函数

积分曲线是方程的一个解在平面上对应的一条曲线

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一阶微分方程

5种方法，

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可分离变量的方程

这种最简单啦

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0次齐次微分方程

这个一般需要提一下东西出来，才能看到y/x，
或者xy需要对调

这个方法的本质是将F(x, y, y’)通过变量代换变成F(x, u, u’)方程

原本的F(x, y, y’)不好用分离变量法，换成F(x, u, u’)就好用分离变量法，求得函数G(u,x) = 0满足方程，u用y/x代回去，变成G(x,y) = 0（或者改写成y=g(x)方程）的方程即为答案，

最后如果有初始条件，计算C即可

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一阶线性微分方程

这个就是直接背公式，注意y’前面系数是1

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伯努利方程

把yⁿ除过去，会会先一个y^1-n，u=y^1-n，整理成一阶线性微分方程

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全微分方程

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可降阶的高阶方程

有3种

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F(yⁿ,x) = 0

这个最简单，直接积分即可

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F(x, y’, y’’) = 0

令y’=p,y’’=p’，
（这里p’就出现dp/dx）再用可分离变量的方程解法

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F(y, y’, y’’) = 0

令y’=p,y’’=p dp/dy
（因为没有x，y’'不能写成dp/dx，要写成dp/dy * dy/dx，即p dp/dy）
再用可分离变量的方程解法

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二阶线性微分方程

线性微分方程的解的结构 （理论

相关定理

这个很类似线性代数

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很类似线性代数

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非齐次方程特解关于非齐次项具有叠加性

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二阶常系数齐次线性微分方程

一般形式
y’’ - py’ + qy = 0

先计算特征方程

r1不等于r2 ，er1x，er2x

r1=r2， erx，xerx

r=a加减bi，eaxcosbx，eaxsinbx

例题：

计算特征方程 r1=r2=1/2，erx，xerx

三阶的微分方程怎么算呢？我们发现这个也是常系数微分方程，一样先写特征方程

解一个解是r1=2，将特征方程整理成(r-2)*多项式 = 0，继续解多项式 = 0即可

二阶常系数非齐次线性微分方程

一般形式

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如果fx是多项式*指数函数.

那么待定系数，设y* = xk · 多项式 · eλx

其中Qm(x)与fx中的多项式同次.

看λ是特征方程的几重根，
如果λ不是根，k = 0
r1=a,r2=b，λ=a或者=b是一重根，k = 1
r1=r2=c=λ是两重根，k = 2

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如果fx是
多项式p1 * 指数函数 eax* 三角函数cosbx +
多项式p2 * 指数函数 eax* 三角函数sinbx
的形式

设y* = xk · eax [多项式 cosbx + 多项式 sinbx]