网络知识 娱乐 张益唐:本质上已证明“零点猜想” 黎曼猜想被证明了吗

张益唐:本质上已证明“零点猜想” 黎曼猜想被证明了吗

2022年10月14日,在北京大学大纽约地区校友会举办的在线座谈活动中,传奇数学家张益唐宣布他证明了朗道-西格尔零点猜想,论文很快便会公布。消息传出,在学术界内外均引起了轰动。 美国时间11月4日,张益唐终于公布了他的论文,并在山东大学的在线讲座中简要介绍了这一工作。根据北京大学的公告,张益唐还将于11月8日在北大做在线学术报告。

张益唐的这篇论文题为《离散平均估计与朗道-西格尔零点》(Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero),全长111页。看起来文章很长,但张益唐过往的风格是写得非常清楚,领域内的专家读起来毫不费力。他上一篇关于孪生素数猜想的文章有五十多页,投稿后仅仅五周时间就被《数学年刊》接受。现在这篇论文当然也要接受学术界最严格的检验。但如果文中证明没有错误,可能两三个月内就能得到证实。

张益唐论文的目录

那么,朗道-西格尔零点猜想到底是怎样的一个猜想,又有什么意义呢? 太长不看版:朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况,但跟黎曼假设没有直接关系。张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。这一成果在解析数论中的意义,比张益唐之前在孪生素数猜想上的突破还要重大。 下面具体谈谈笔者作为一个外行对张益唐工作的理解,其中不免有错漏之处,望方家海涵。

很多读者都听说过黎曼ζ函数。这是一个形如

的函数,其中s=x+yi是一个复数。需要特别注意的是,上述关于ζ函数的定义仅仅是在x>1的情况下才成立。在x≦1的时候,需要使用别的定义。

黎曼ζ函数满足一个函数方程

从中容易看出,在所有的负偶数处,黎曼ζ函数的值都是0. 所以负偶数被称为黎曼ζ函数的平凡零点。黎曼ζ函数还有别的非平凡零点。黎曼猜测,所有的非平凡零点都应该在x=1/2这条直线上。这就是著名的黎曼假设(Riemann hypothesis),是数学中最重要的问题之一。 在黎曼的原始论文中,用ζ函数的所有零点给出了素数分布的精确公式。所以一旦我们知道ζ函数零点分布的任何信息,就能得到关于素数分布的相关结论。这就是为什么黎曼ζ函数是如此重要。 早在一百多年前,人们就知道黎曼ζ函数的所有非平凡零点都在0<x<1这个无穷长的带状区域里。前面的函数方程告诉我们,这些非平凡零点关于x=1/2这条直线对称分布。所以黎曼假设等价于说黎曼ζ函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。

黎曼ζ函数可以推广为狄利克雷L函数,这是一种形如

的函数。同样地,这个定义只是在x>1时成立。在x≦1的时候,需要使用别的定义。

上式中χ(n)是正整数集上定义的一个复数值函数,称为狄利克雷特征,满足如下条件:

(1) 对于任意两个正整数m和n,χ满足χ(mn)=χ(m)χ(n)。 (2) 存在一个正整数D,使得χ(n+D)=χ(n)对任何n都成立。 (3) 如果n与D有大于1的公约数,那么χ(n)=0;如果n与D互素,那么χ(n)是一个单位根(即其若干次幂是1)。 广义黎曼假设(Generalized Riemann hypothesis)说,狄利克雷L函数所有的非平凡零点都在x=1/2这条直线上。类似于黎曼假设,广义黎曼假设等价于说狄利克雷L函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。

广义黎曼假设当然比原本的黎曼假设更加困难。不过,人们已知狄利克雷L函数在一个非常靠近x=1这条直线的区域里通常没有零点。具体而言,如果χ(n)的取值不全是实数的话,L(s,χ)在

这一区域里没有零点。其中c是一个跟D和χ无关的可以计算出来的正实数。如果χ(n)的取值都是实数(这时χ被称为一个实特征),那么L(s,χ)在上述区域里最多只有一个零点,而且这个零点一定是实数。这个可能存在的零点被称为西格尔零点

朗道-西格尔零点猜想就是说,西格尔零点不存在。更确切地说,存在一个正实数c,使得对于任何D和相应的实特征χ,L(x,χ)在

时都不等于0。

很明显能看出,朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形。但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中,都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。所以如果能够排除西格尔零点,对于解析数论的研究就有着非同寻常的意义。

在许多介绍张益唐工作的文章中,把“广义”去掉,直接说朗道-西格尔零点猜想是黎曼假设的特殊情形。这是不对的。事实上,对于黎曼ζ函数,早在一百多年前就知道相应的西格尔零点不存在了。人们甚至知道更强的结论:黎曼ζ函数的非平凡零点都不是实数。所以朗道-西格尔零点猜想跟黎曼假设没有直接的关系。

张益唐对朗道-西格尔零点猜想已经研究了二十多年。早在2007年,他就在预印本网站arXiv上张贴了一篇论文,宣布证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形(variant)。但这篇论文有错误。现在这个证明的想法是在他2014年访问普林斯顿高等研究所期间产生的。从那时起,他花费了8年时间,终于完成了证明。