大约在1637年，费马在一本书的空白处随手写下的一个认为自己可以巧妙证明的数学猜想，没想到竟困惑了无数顶尖数学家350多年。
皮埃尔·德·费马是17世纪法国的一名律师，工作之余喜欢钻研数学，做出了许多伟大的数学成就，所以被称为“业余数学家之王”。他在看一本公元三世纪数学家丢番图写的《算术》时，在“一个平方数等于两个平方数之和”的问题旁的空白处，潦草写道：另一方面，不可能将一个立方数表示成两个立方数之和，或者将一个四次幂表示成两个四次幂之和；或者总的来说，不可能将一个高于二次的任意次幂表示成两个同次幂之和。我已经发现了一个对此命题的绝妙证明，可惜空白的地方太小，写不下。
费马的这个猜想用现代数学符号可以表示成：
没有整数解（n>2）。
这就是著名的费马猜想。这个猜想在常人看来有点不可思议，这个方程在n＝2时就是毕达哥拉斯定理（在中国称为勾股定理）： ，而满足毕达哥拉斯定理的整数解有无穷多组，怎么幂指数n一超过2，在无穷的非零自然数里面就再也找不到哪怕三个数来使方程成立了呢？由此大数学家的强大洞察力可见一斑。
费马自己证明了n=4的情形，即证明了方程没有整数解。自费马提出这个著名猜想之后，许多数学家都投入了证明这个猜想的艰难探索中。大概一个世纪后，欧拉于1753年修改了费马的方法，提供了方程无整数解的证明。虽然进展缓慢得让人沮丧，但是以下事实可能给人一点安慰：对于费马方程，如果证明了n等于某个数时无整数解，那么n为这个数的倍数也无整数解。比如证明了n=3的情形，也就自动证明了n等于3的倍数（6，9，12，15，18，…）的情形。
可是这样证明单个数字的方法终究无法解决费马猜想，寻找一般性解决办法是必要的。19世纪初，女数学家索菲·热尔曼提出一个一般性证明方法，这种方法可能一次提供许多种情形下的证明，即当n为(2p+1)也是质数的那类质数p(例如p=5)时，费马方程不太可能有整数解。这类质数后来也被称为热尔曼质数。热尔曼是那个时代的杰出女性代表，在那个歧视女性的时代取得如此巨大成就尤为艰难。
1825年，勒让德和狄利克雷分别基于热尔曼的方法，独立证明了n=5的情形没有整数解。
1839年，加布里尔·拉梅对热尔曼的方法做了补充，证明了n=7时无整数解。
1847年，拉梅和柯西都宣布自己即将证明费马猜想。库默尔指出他们的证明方法不可行，并自己证明了n<100中除n=37，59，67这三个质数外，费马方程无整数解。
第二次世界大战之后，计算机的出现为证明费马猜想提供了强大的计算工具。随后，数学家很快证明了在n<1000时费马猜想是对的。1976年，萨缪尔·S·瓦格斯塔夫证明了费马猜想在n<125000时成立。之后这个范围提高到了400万。
即使把范围提高到400亿，400万亿也无济于事，因为要证明的是费马猜想对n为3到无穷大的所有自然数都是对的。对于费马猜想，无论被证明的n的值范围多大，只要是有限的，后面依然有无穷多的n的值有待证明。要完全证明费马猜想，还有巨大的距离需要跨越。
费马猜想悬而未决，但是随着数学的发展，可能用于解决费马猜想的数学工具陆续被一代又一代的数学家发现，有些数学家可能都没有想到自己的成果可以为解决费马猜想提供强大助力。
证明费马猜想的逻辑——反证法
面对无穷多的数组（x，y，z）和无穷多的幂指数n，似乎反证法是一个不错的尝试选择。1984年，格哈德·弗赖假设费马方程 (n>2)有至少一个整数解，并假设这个解为A，B，C，则有 ，经过一系列处理之后，具有假设解的费马方程就被转变成了一个椭圆曲线的方程 （椭圆曲线的方程的形式为 ）。通过研究这条椭圆曲线，弗赖提出了一个自己还未能证明的推断：这个椭圆曲线的方程非常稀奇古怪，绝对不可能有对应的模形式。因此这条椭圆曲线不满足谷山—志村猜想，如果谷山—志村猜想是正确的，这样就反证了费马猜想成立。
椭圆曲线
什么是谷山—志村猜想呢？早在20世纪50年代，日本数学家谷山丰和志村五郎提出了一个猜想：每一条椭圆曲线都可以用一个模形式来表达。也就是说所有的椭圆曲线和模形式都是一一对应的。模形式是一类遵循某种群对称性的复变函数，其关键特点是具有丰富的对称性。
模形式
弗赖提出的使用反证法来证明费马猜想的具体逻辑过程如下：假设费马方程有整数解，根据假定解将费马方程转化为一条椭圆曲线，得到的椭圆曲线很奇怪以至不可能有对应的模形式，这条椭圆曲线若存在将与猜测每一个椭圆曲线必定有对应模形式的谷山—志村猜想相矛盾。而如果谷山—志村猜想是正确的，那么这条椭圆曲线就不存在，关于费马方程有解的假设就是错误的，即费马方程没有解，由此证明了费马猜想。简化起来就是，假设费马方程有解的结果，根据谷山—志村猜想会对应到一个推断不存在的模形式，证明谷山—志村猜想成立和对应的模形式不存在，费马方程就无解了。
这样，弗赖最先将谷山—志村猜想和费马猜想的证明联系了起来。1986年，肯·里贝特证明了弗赖的那条奇怪的椭圆曲线确实没有对应的模形式。接下来，只要证明了谷山—志村猜想，费马猜想就得以证明了。
怀尔斯的成果
如何证明谷山—志村猜想，即证明所有的椭圆曲线和模形式是一一对应的呢？这个猜想的证明极其困难，因为椭圆曲线和模形式在数学中属于完全不同的领域，看起来也非常不相关，而且需要证明的椭圆曲线和模形式的数量是无穷的，证明两者之间的对应关系几乎无从下手。数学家们努力试过了，就是不能找到一一对应的方法，绝大部分数学家相信谷山—志村猜想是完全无法接近的，在可见的未来不可能解决。已经为费马猜想的证明做出重要工作的肯·里贝特甚至连尝试的想法都没有。
安德鲁·怀尔斯是极少数几个敢于挑战的勇士之一。他从10岁时接触到费马猜想后就一直被其深深吸引，证明费马猜想是他童年的梦想。1986年，他在得知肯·里贝特做出的进展之后，就马上投入了证明谷山—志村猜想的研究工作之中。
怀尔斯花了一年时间来仔细思考证明的基本策略，最终决定采用归纳法，因为对于无穷的情形，归纳法是一种极有效的证明方法。使用归纳法证明某个命题时，只要证明了该命题对第一种情形是对的，然后再证明如果该命题对于任意一种情形是对的，那么它对下一种情形也必定是对的。这就有点像玩多米诺骨牌，把骨牌排成一行之后，碰倒第一枚骨牌，就会使其余骨牌产生连锁反应，一个接一个地倒下。这样，归纳法就可以证明无穷的情形。
怀尔斯的关键突破在于发现伽罗瓦的工作可以作为其证明谷山—志村猜想的基础。伽罗瓦群是椭圆曲线和模形式连接起来的桥梁。怀尔斯先把椭圆曲线和模形式转换为伽罗瓦表示，然后再证明它们是同构关系。他把椭圆曲线的方程拆成无穷多项，然后证明了每一条椭圆曲线的第一项必然是一个模形式的第一项。也就是怀尔斯已经能推倒第一枚多米诺骨牌了。
接下来就要证明归纳法的第二步：如果命题对于任意一种情形是对的，那么它对下一种情形必定也是对的。怀尔斯最初是考虑岩泽理论，但是岩泽理论并不能给予他所需要的证明，所以他放弃岩泽理论而选择了当时最前沿的科利瓦金-弗莱切方法。他将科利瓦金-弗莱切方法加以改进后，证明了如果每一条椭圆曲线的任意一项与一个模形式的对应项相配，那么下一项也是如此。即证明了如果任意一块多米诺骨牌被推倒，则将推倒下一块骨牌，这样就保证了能产生一个碰倒一个的连锁反应。至此，怀尔斯完成了谷山—志村猜想的证明，所以也完成了费马猜想的证明。
1993年6月，怀尔斯在剑桥的一个数论方面的工作报告会上以演讲的方式宣告他的证明，引起了世界的轰动。演讲结束后，怀尔斯向《数学发明》杂志投交了他的证明手稿。谁知，8月份的时候审稿人发现了怀尔斯论文中存在一个微妙又严重的缺陷。这个证明是一个庞大的论证，有200页左右，大量的定理和逻辑错综相连，环环相扣，如果这个缺陷不能得到补救，将使整个证明化为灰烬。
发现缺陷之后，怀尔斯立即开始修改。但由于这个缺陷涉及论证的根基，牵一发而动全身，怀尔斯很长时间都不能改好，他承受着期待、质疑和要求他公开证明手稿的多重巨大压力。经过一年多的努力，怀尔斯的补救工作还是没有进展，就在他想要放弃的时候，灵光一闪发现曾经弃用的岩泽理论的妙用，迎来了柳暗花明的时刻。他将岩泽理论和科利瓦金-弗莱切方法结合起来完美地填补了缺陷。
1995年5月，简化后的证明稿件得以通过历史上最严格的核查，发表在《数学年刊》上。从那一刻起，费马猜想变成了费马大定理。怀尔斯经过8年的艰难论证和修改，最终实现了他的梦想。
费马大定理——数学史上的一座丰碑
有人说，证明费马大定理的过程就是一部数学史。因为在350多年间，许多数学家为了证明费马大定理而做出了自己的重要成果。
欧拉拓展了虚数的应用，库默尔创立了关于理想数的理论，法尔廷斯证明了莫德尔猜想，肯·贝特里证明了弗赖命题，怀尔斯扩展了伽罗瓦群的应用并证明了谷山—志村猜想。还有很多数学家及其思想成就不能一一列举。费马大定理催生了如此之多的新思想新成果，希尔伯特在一百多年前把费马大定理比喻为“一只下金蛋的鹅”，所言不虚。
数学各个分支曾被认为是一座座孤岛，这些数学分支在自己各自的岛上独立发展，比如椭圆曲线和模形式就分属不同的数学孤岛。1967年，罗伯特·朗兰兹猜测数学的很多分支之间有着紧密的联系，这个猜测后来演变成朗兰兹纲领，被认为是数学的“大统一理论”。怀尔斯在追逐费马大定理的过程中对谷山—志村猜想的证明，建立起了联系椭圆曲线和模形式这两座数学孤岛的坚实桥梁，在其中很多现代数学成果被完美地综合起来，为朗兰兹纲领预示的数学大统一构想添加了浓墨重彩的一笔，使得数学大统一的前景更加清晰可见。
历经350多年，催生了无数思想成就的费马大定理被证明之后，数学家们在松了一口气的同时也略带遗憾，继续行进在证明其它难题和发展数学之路上。
