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卡尔曼滤波

文章目录

  • 前言
  • 一、初印象
  • 二、基本概念
  • 三、公式及参数
  • 四、其他
  • 总结

前言

之前看Fast-LIO的时候,了解过卡尔曼滤波的知识,重新整理下。同时推荐一个很棒的Kalman Filter讲解网站:https://www.kalmanfilter.net,这里有关于网站的速览:https://mp.weixin.qq.com/s/QGmX4ygxqpVXjpkl40MBiA。

一、初印象

卡尔曼滤波是最重要和最常见的估计算法,基于不精确、不确定的观测来估计和预测隐藏变量(或称为状态);它基于马尔科夫假设,假设当前状态只与上一时刻状态有关。根据上时刻状态量、输入以及观测量,推导出当前时刻状态和协方差矩阵。

显然,从卡尔曼滤波的描述上看,它符合我们在SLAM系统中根据传感器数据估计机器人位姿的需求。

二、基本概念

记录一些描述的很清晰的概念。

  1. 估计、准确度和精度
    估计(Estimate ):对系统隐藏状态的估计。
    准确度(accuracy):描述了测量值和真值的接近程度。
    精度(precision):描述了同一参数的多次测量的变化情况。
    estimate-accuracy-precision

  2. 关于测量值
    测量值(measurement):随机变量,使用概率密度函数描述。
    期望:测量值均值。
    准确度:测量值均值和真值的偏差,也称作偏差(bias)或系统测量误差。
    精度:变量分布的离散度,也称为测量噪声/随机测量误差/测量不确定度。
    a statistical view of a measurement

  3. 噪声
    过程噪声(process noise):动态模型误差,w(Q)。
    测量噪声(Measurement Noise):测量误差,v(R)。

三、公式及参数

在这里插入图片描述
卡尔曼滤波一般分为两个步骤,状态预测和更新。有五大公式:1.状态外推方程;2.协方差外推公式;3.状态更新方程;4.协方差更新方程;5.卡尔曼增益,如下图所示。感觉图中第四列的别名对方程的描述很有助于理解。

  • 预测方程由状态空间方程推导出来。

  • 卡尔曼增益Kn,也成为权重更新方程。描述了在状态更新时对测量值的信任度,取值在0-1之间,相当于一个对观测量得权重值。测量值不确定度低时,Kn接近1,表示更加信任测量量提供的信息来调整状态量;测量值不确定度高时,Kn接近0表示更希望保持当前状态。
    kalman gain

  • 状态更新方程,也称为滤波方程,根据观测量来调整预测的当前状态。

  • 协方差更新方程,协方差表示了对状态的估计的不确定度。从一维卡尔曼滤波器推导的公式结果来认识一下协方差更新方程:
    一维协方差
    由于0<=Kn<=1,随着更新迭代这里的p_n_n会越来越小,意味着状态估计结果会越来越准确。当测量的不确定度高时,Kn值小,协方差收敛得慢;反之,协方差收敛得快。

四、其他

  1. 滞后误差(lag error)
    可能的原因:1.模型构建不合理;2.过程噪声过小。
    那么对应的解决方式:1.重新构建模型,考虑更多的变化量;2.调大噪声以表明模型本身的不确定度较高。
    好的卡尔曼滤波器应该尽可能真实地描述实际模型,但无法得到较准确的模型时,考虑调整过程噪声也是折中的选择。
  2. 过程噪声方差
    过程噪声方差Q越小,对模型信任度越高,系统越容易收敛,但太小容易发散。而Q越大,则代表模型不确定度高,其实和卡尔曼滤波器初衷不相符。
  3. 测量噪声方差
    测量噪声方差R太大,对新的测量值信任度低,卡尔曼滤波响应会变慢;越小系统收敛越快,但容易出现震荡。

总结

本文简要介绍了卡尔曼滤波相关的概念和理解。